MODELE BLACK SCHOLES

INNOVATION FINANCIERE PHYSIQUE DES MARCHES ET MATHEMATIQUES FINANCIERES MODELISATION DES MARCHES FINANCIERS FAILLITE DE LTCM CRISE DES SUBPRIMES

EVALUATION DES PRODUITS DERIVES

Modèle Black-Scholes D'EVALUATION DU PRIX D'UNE OPTION

Principes de calcul

Le modèle de Black et Scholès définit la valeur d'une option à l'instant t comme étant la moyenne des valeurs intrinsèques possibles de cette dernière pondérée par leur probabilité respective d'occurrence.

Le modèle calcule les cours possibles de l'actif sous-jacent à l'échéance, ainsi que leur probabilité respective d'occurrence, en partant de l'hypothèse fondamentale qu'il s'agit d'une variable aléatoire dont la loi de distribution suit une courbe gaussienne. Il détermine la valeur actualisée au taux du marché monétaire de l'option à la date tdes calculs.

Hypothèses de calcul

Le modèle Black-Scholes repose sur un certain nombre d'hypothèses cumulatives

le prix de l'actif sous-jacent S_t suit un mouvement brownien géométrique avec une volatilité $σ$ constante et une dérivée $μ$ constante

$dS_t = \mu S_t\,dt + \sigma S_t\,dW_t \,$ ,

il n'y a pas d'opportunités d'arbitrage,
le temps est une fonction continue
il est possible d'effectuer des ventes à découvert
il n'y a pas de coûts de transactions,
il existe un taux sans risque , connu à l'avance et constant,
tous les sous-jacents sont parfaitement divisibles (on peut par exemple acheter 1/100^e d'action),
l'action ne paie pas de dividendes entre le moment de l'évaluation de l'option et l'échéance de celle-ci.

Formule de Black Scholes

La formule de Black-Scholes permet de calculer la valeur théorique d'une option à partir des cinq données suivantes :

$\mathcal{}S_0$ la valeur actuelle de l' action sous-jacente,
$\mathcal{}T$ le temps qui reste à l' option avant son échéance (exprimé en années),
$\mathcal{}K$ le prix d'exercice fixé par l'option,
$\mathcal{}r$ le taux d'intérêt sans risque,
$\mathcal{}\sigma$ la volatilité du prix de l'action.

Si les quatre premières données sont évidentes, la volatilité $\mathcal{}\sigma$ de l'actif est difficile à évaluer. Deux analystes pourront avoir une opinion différente sur la valeur de $\mathcal{}\sigma$ à choisir.

Prix d'un call

Le prix théorique d'un call donnant le droit mais pas l'obligation d'acheter l'actif S à la valeur K à la date T, est caractérisé par son pay off : $( \mathcal{S}_{T} - K)^{+}=\max(S_{T} - K ; 0)$

Il est donné par l'espérance sous probabilité risque neutre du pay off terminal actualisé

$C = E(Payoff \times e^{-rT})~$ ,

soit la formule de Black-Scholes :

$C(S_0,K,r,t,\sigma) = S_0 \mathcal{N}(d_1) - K e^{-rt}\mathcal{N}(d_2)$

Prix d'un put

Le prix théorique d'un put , de pay off $( K - \mathcal{S}_{T} )^{+}=\max(K-S_{T} ; 0)$ est donné par :

$P(S_0,K,r,t,\sigma) = -S_0 \mathcal{N}(-d_1) + K e^{-rt}\mathcal{N}(-d_2)$

avec

$\mathcal{N}$ la fonction de répartition de la loi normale e centrée réduite $\mathcal{N}\left( 0,1 \right)$ , c'est-à-dire $\mathcal{N}(x) = \int_{-\infty}^{x} \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}u^2} du$
$d_1 = \frac{1}{\sigma\sqrt{t}} \left[ \ln \left( \frac{S_0}{K} \right) + \left( r + \frac{1}{2}\sigma^2 \right)t \right]$
$d_2 = d_1 - \sigma \sqrt{t}$

La formule put être inversée , de façon à calculer sur la base du prix de l'option qui est côté dans les marchés la valeur de $\mathcal{}\sigma$ pour que la formule Black-Scholes donne exactement ce prix. Ceci permet de calculer calculer la volatilité implicite.

Fiabilité du modèle de Black et Scholès

Le modèle retient des hypothèses simplificatrices qui sont de nature à provoquer des écarts significatifs entre la réalité du marché et les valeurs données par le modèle. En fait, en période de stabilité, la majorité des opérateurs utilisant la formule de Black et Scholtès pour fixer leur prix, le modèle a une valeur auto-réalisatrice. Les opérateurs sur le marché utilisant le même étalon d'évaluation la valeur sur le marché a tendance à être la valeur fixée par le modèle.

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